Верно: ...Института...
В подобных случаях название института следует писать в кавычках и не склонять: Учреждение Российской академии наук «Институт серпа и молота», директор Учреждения РАН «Институт серпа и молота».
Кавычки не нужны: Институт европейских исследований.
Скорее, это канцелярит.
Правильно написание строчными буквами и без кавычек: институты математики и радиофизики.
Предпочтительно: окончить институт.
Да, здесь должно быть с прописной: Пушкинский Дом. Исправлено. Спасибо за замечание!
В названиях организаций, учреждений с большой буквы пишется первое слово. Корректно: Международный институт психоанализа.